Função exponencial

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Funções exponenciais são ferramentas muito importantes para a matemática devido ao número imenso de aplicações que ela nos proporciona. Alguns estudos que fazem uso desse tipo de funções são aqueles envolvendo cálculos financeiros,datação por carbono-14 de minerais e artefatos arqueológicos, crescimento de bactérias e populacional e muitas outras aplicações práticas. Sendo assim, vamos às definições: Seja uma função $<![CDATA[ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} ]]>$ e 𝑎, uma constante real. Essa função é chamada de exponencial se a lei de associação puder ser escrita da forma:

$<![CDATA[ f(x) = a^x\quad(a\in\mathbb{R}, a>0\text{ e }a\neq 1) ]]>$

Obs.: Para melhor compreensão do conteúdo, é recomendado que o leitor revise as definições de funções matemáticas e de equações exponenciais.

Gráfico de uma função exponencial

A função exponencial admite duas interpretações do seu gráfico:

a > 1 - Estritamente crescente

0 < a < 1 – Estritamente decrescente

Funções exponenciais de base e

É uma função exponencial onde a base é a constante de Euler, ou simplesmente e. A sua forma será:

$<![CDATA[ f(x)=e^x ]]>$

Aplicações:

Vejamos agora alguns exercícios práticos envolvendo funções exponenciais:

1) O número de bactérias de uma certa cultura pode ser previsto pela função:

$<![CDATA[ N(t)=2\cdot 10^{23}\cdot e^{kt} ]]>$

Onde k é uma constante positiva e t é o tempo dado em dias. O número inicial de bactérias aumentou 100 vezes em 2 dias, qual será o número de bactérias após 30 dias?

Vamos solucionar este problema da seguinte maneira: Considere que um número inicial de bactérias possa ser chamado de N₀ e esse número foi calculado no tempo t=0. Sendo assim:

$<![CDATA[ N(0)=2\cdot 10^{23}\cdot e^{k\cdot 0}=2\cdot 10^{23}=N_0 ]]>$

Como o problema nos diz que o número de bactérias aumentou 100 vezes em relação a N₀ num tempo 𝑡=2, temos, resolvendo a equação exponencial:

$<![CDATA[ N(2)=100\cdot N_0 ]]>$

$<![CDATA[ N(2)=2\cdot 10^{23}\cdot e^{2k}=N_0\cdot e^{2k} ]]>$

$<![CDATA[ N_0\cdot e^{2k}=100\cdot N_0 ]]>$

$<![CDATA[ e^{2k}=100 ]]>$

$<![CDATA[ (e^k)^2=10^2 ]]>$

$<![CDATA[ e^k=10 ]]>$

Agora, as nossas constantes já foram calculadas, o que resulta na função exponencial:

$<![CDATA[ N(t)=2\cdot 10^{23}\cdot 10^t=2\cdot 10^{23+t} ]]>$

Como o exercício pede, o número de bactérias num tempo 𝑡 = 30, então:

$<![CDATA[ N(t)=2\cdot 10^{23+t} ]]>$

$<![CDATA[ N(30)=2\cdot 10^{23+30}\Longrightarrow N(30)=2\cdot 10^{53} ]]>$

Resultando então em 2 ∙ 10⁵³ bactérias num espaço de 30 dias.

2) Chamamos de montante (𝑀) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital (𝐶), a juros compostos, a uma taxa (𝑖) durante um tempo (𝑡). O montante é calculado segundo a formula:

$<![CDATA[ M=C(1+i)^t ]]>$

Supondo que o capital aplicado foi de R$ 200.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual será o montante no final da aplicação?

Para calcular este problema basta substituir pelos valores dados, mas atenção ao valor da taxa, que está em porcentagem, neste caso podemos dizer que:

$<![CDATA[ i=12%=\frac{12}{100}=0,12 ]]>$

Voltando, temos:

$<![CDATA[ M=C(1+i)^t ]]>$

$<![CDATA[ M=200.000\cdot(1+0,12)^3 ]]>$

$<![CDATA[ M=280.985,60 ]]>$

Referências Bibliográficas

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC,2001.

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

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