Sistemas de equações

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Para melhor compreensão do estudo de sistemas de equações, vamos apresentar a definição formal do que é uma equação linear e posteriormente a construção e algumas ferramentas para solução de sistemas de equações.

Equação linear

Definimos uma equação linear toda aquela que possui n incógnitas, n coeficientes (ou variáveis) e um termo independente b. Ou seja:

$<![CDATA[ a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + ... + a_n x_n = b ]]>$

Onde existem n soluções possíveis para uma equação de n incógnitas ($<![CDATA[ k_1, k_2, k_3, ..., k_n ]]>$). As mesmas só serão validas, se, e somente se, a igualdade abaixo for verdadeira:

$<![CDATA[ a_1 k_1 + a_2 k_2 + a_3 k_3 + ... + a_n k_n = b ]]>$

Sistema de equações lineares

É chamado de sistema de equações um conjunto de duas ou mais equações lineares. A forma geral de um sistema linear é dada por:

$<![CDATA[ \begin{cases}a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + ... a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + ... a_{2n} x_n = b_2 \\a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + a_{m3} x_3 + ... a_{mn} x_n = b_m\end{cases} ]]>$

Onde os termos acima:

• x₁, x₂, x₃, ..., x_n  são as incógnitas do sistema;
• a₁₁, a₁₂, ..., a_mn são as variáveis dependentes, ou coeficientes do sistema;
• b₁, b₂, ..., b_m são os termos independentes, as constantes.

Note que também é possível escrever um sistema na forma de um produto de matrizes. Sendo assim, dizemos que um sistema de equações lineares pode ser expresso por:

Dadas as matrizes A, X e B tais que:

O produto A.X = B será:

Exemplo 1) Seja o sistema linear de duas incógnitas e duas variáveis $<![CDATA[ \begin{cases}2x+y =4\\3x-y=7\end{cases} ]]>$ podemos relacioná-lo da seguinte maneira:

$<![CDATA[ \begin{cases}2x+y =4\\3x-y=7\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a_{11}x + a_{12}y = b_1\\a_{21}x + a_{22}y = b_2\end{cases} ]]>$

Logo, podemos dizer que:

a₁₁ = 2, a₁₂ = 1, a₂₁ = 3, a₂₂ = -1, x e y são as variáveis, b₁ = 4 e b₂ = 11.

Escrevendo este sistema na forma do produto de matrizes teremos:

$<![CDATA[ \left[\begin{array}{rr}2&1\\3&-1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4\\11\end{array}\right] ]]>$

E o seu conjunto solução será dado por (x, y) = (3, -2)

Exemplo 2) Dado o sistema $<![CDATA[ \begin{cases}x+5y+3z&=11\\2x+y-z&=4\\-3x+4y+2z&=5\end{cases} ]]>$ relacionamos então como:

$<![CDATA[ \begin{cases}x+5y+3z&=11\\2x+y-z&=4\\-3x+4y+2z&=5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3\end{cases} ]]>$

Por produto de matrizes escrevemos:

$<![CDATA[ \left[\begin{array}{lcr}1&5&3\\2&1&-1\\-3&4&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}11\\4\\5\end{array}\right] ]]>$

Seu conjunto solução será (x, y, z) = (1, 2, 0)

OBS: Em alguns livros, é possível encontrar a notação em que a matriz X, acima citada, é chamada de vetor.

Classificação de sistemas

1) Sistema Possível e Determinado (SPD)

Um SPD é todo aquele que possui apenas uma solução, em outras palavras, existe apenas uma solução do tipo (k₁, k₂, k₃, ..., k_n).

2) Sistema Possível e Indeterminado (SPI)

Um SPI é um sistema que possui infinitas soluções.

3) Sistema Impossível (SI)

Um SI é aquele em que não existem soluções (k₁, k₂, k₃, ..., k_n).

4) Sistema Linear Normal

É chamado de normal todo o sistema em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Se fossem representados na forma matricial, então a matriz referente às variáveis dependentes (a matriz A) seria uma matriz quadrada, onde o número de linhas é igual ao de colunas, cujo seu determinante seria diferente de zero.

$<![CDATA[ det A \neq 0 ]]>$

5) Sistema Linear Homogêneo:

Um sistema homogêneo é todo aquele em que b₁ = b₂ = ... = b_m = 0. Admitindo sempre uma única solução do tipo (0, 0, 0, ..., 0).

6) Sistema Escalonado

Um dos métodos de solução de sistemas lineares, também chamado de eliminação de Gauss, consiste em manipularmos as equações de forma que possamos eliminar as variáveis até que o sistema fique mais simples de resolver. Manipular as equações significa que podemos somar umas com as outras, multiplicar uma equação inteira por números reais, dividir equações entre si, enfim, qualquer operação, desde que feita sobre uma equação inteira não afetará no seu resultado.

Em resumo, um sistema chamado escalonado é aquele que pode sofrer a permutação entre suas equações, multiplicado, dividido, somado, subtraído por qualquer equação do sistema ou números reais diferentes de zero. Um sistema escalonado se encontra na forma de:

Referências Bibliográficas

COELHO, Flávio U; LOURENÇO, Mary L. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: EDUSP, 2013

LIPSON, Marc; SEYMOUR, Lipschutz. Álgebra Linear. Porto Alegre: Bookman, 2011

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Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita

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Supondo que tivéssemos uma sequência em progressão geométrica e quiséssemos saber qual é o valor da soma de seus n primeiros termos. É claro que quando limitamos o número de elementos, por exemplo, S_né a soma dos seus n primeiros termos, a₁ é chamado o primeiro termo de uma sequência e é a razão da P.G.

$<![CDATA[ S_n = a_1 \cdot \frac{(1-q^n)}{(1-q)} ]]>$

Porém, se quiséssemos descobrir qual é a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica a nossa análise mudaria totalmente. Ora, se a P.G. em questão for crescente não seria possível determinar a sua soma ao infinito pois certamente o seu valor tenderia ao infinito também. Então questionamos: Qual seria o valor da soma de uma P.G. infinita? Para isso, devemos introduzir alguns conceitos a respeito de sequências e séries:

Sequências numéricas do tipo (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n) podem ser definidas por fórmulas.

Exemplo 1: Seja a sequência $<![CDATA[ \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, ...\right) ]]>$, podemos dizer que o seu termo geral é dado pela fórmula:

$<![CDATA[ a_n = \frac{n}{n+1} ]]>$, com n = 1, 2, 3 ...

Ou recursivamente, como:

$<![CDATA[ a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = a_{n+2} = a_{n+1} + \frac{a_{n+1} - a_n}{2} ]]>$

Com $<![CDATA[ n \in \mathbb{N}\text{*} ]]>$.

Exemplo 2: Tomemos a sequência infinita $<![CDATA[ a_n = \frac{1}{n} ]]>$, os seus elementos serão representados por:

$<![CDATA[ \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ..., \frac{1}{50}, ..., \frac{1}{n}, ...\right) ]]>$

Observe que, se o valor de n for muito grande, então a razão tende a zero. Por exemplo, $<![CDATA[ \frac{1}{100.000} = 0,00001 ]]>$. Então o termo geral tenderá a zero quanto maior for o valor de n. Representando em notação de limites, dizemos que o limite da sequência quando n tende ao infinito ($<![CDATA[ n \rightarrow \infty ]]>$) é zero, ou seja:

$<![CDATA[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 ]]>$

Lembrando que uma P.G. é decrescente quando possui duas características: Quando 0 < q < 1 e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos negativos. Porém, se pensarmos que quando o módulo da razão da P.G. estiver entre 0 e 1 (0 < |q| < 1), a soma dos seus n primeiros termos terá um limite finito quando n tender ao infinito. Em outras palavras, qⁿ aproxima-se de zero quando n for suficientemente grande, então:

$<![CDATA[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} q^n = 0 ]]>$

Como a soma dos n primeiros termos da P.G. é dada por:

$<![CDATA[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1-q} ]]>$

Então podemos dizer que:

$<![CDATA[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = a_1 \cdot \frac{1-0}{1-q} ]]>$

E como 0 < |q| < 1, concluímos que:

$<![CDATA[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-q} ]]>$

Portanto, a soma dos infinitos termos de uma P.G. quando a razão 0 < |q| < 1 será dada por:

$<![CDATA[ S_n = \frac{a_1}{(1-q)} ]]>$

Exemplo 3: Podemos representar a soma de uma sequência pelo símbolo do somatório. Supondo que uma sequência já esteja definida como uma fórmula, por exemplo, a sequência $<![CDATA[ \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...\right) ]]>$. Sabemos que é uma P.G. de razão $<![CDATA[ q = \frac{1}{2} ]]>$, que é um valor entre 0 e 1, e que a fórmula do termo geral é dada por $<![CDATA[ a_n = \frac{1}{2^n} ]]>$. Escrevemos então o seu somatório:

$<![CDATA[ \displaystyle S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... ]]>$

Lê-se: Somatório de $<![CDATA[ \frac{1}{2^n} ]]>$ quando n varia de 1 ao infinito.

Utilizando a fórmula para determinar a soma desta P.G. obtemos:

$<![CDATA[ S_n = \frac{a_1}{(1-q)} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 ]]>$

Então, a soma desta sequência em P.G. até o infinito será igual a 1, ou que o limite desta sequência é 1.

Referências Bibliográficas:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 4: São Paulo: Editora Atual, 2013.

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

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On my way: Ford Fusion e EcoSport

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Enfrentar uma maratona de semana de moda é uma delícia, mas é necessário ter bons aliados para transformar a experiência ainda mais especial. Isso porque é uma correria daquelas. Um evento atrás do outro, QG no Shopping Cidade Jardim e desfiles.

Desta vez, a Ford foi a nossa parceira e ofereceu o novo Ford Fusion para nos levar aos quatro cantos da cidade em compromissos durante a fashion week. O mais bacana é conhecer de perto as novidades que acabaram de chegar ao mercado.

Assim como as tendências, que surgem para se adaptarem a diversos estilos, a Ford lançou essa união de sofisticação e tecnologia no Ford Fusion Hybrid. O primeiro veículo Full Hybrid do Brasil, com tecnologia voltada à sustentabilidade. Ele é elétrico e à gasolina. Por fora, ele tem linhas marcantes  e dinâmicas. Por dentro, um sistema de comando de voz, interação intuitiva com sincronização de celular e Waze e um seletor rotativo de marchas, especificamente desenvolvido para ocupar menos espaço com mais tecnologia e com as trocas de marcha no volante.

Já para quem tem espírito aventureiro, o novo EcoSport é o único flex do mercado, com mais força e estabilidade para você dirigir em condições e terrenos diversos e chegar aonde quiser com tranquilidade e segurança. Ele é uma evolução de dentro para fora. Na parte exterior, ele tem design atraente e imponente e, por dentro, ele surpreende pela pela conectividade e conforto.

Definitivamente, dois modelos que reúnem tudo que a gente precisa nos dias de hoje. Cada um para uma ocasião diferente.

Blog da Alice Ferraz https://ift.tt/2I0wqZn
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O Que é e Como Dominar a Inteligência Emocional?

Todos os dias, encaramos situações boas e ruins, sendo que as negativas em geral, são as que mais impactam a gente. Seja por um problema no trânsito, por uma discussão ou por algo que deu errado e não deveria, estamos diante de várias coisas que colocam nossas emoções a prova diariamente.

Mas como lidar com nossos sentimentos? Como nossas emoções podem influenciar em nossa vida, ao ponto de não conseguirmos ter mais controle? Tudo isso é Inteligência Emocional, um comportamento e condição que pode ser o ponto crucial para nossas vitórias e fracassos. Vamos entender um pouco mais sobre isso agora.

Inteligência Emocional, a Arte da Resiliência

Ter Inteligência emocional é saber lidar com os próprios sentimentos e emoções, e quando as coisas vão bem é até fácil pensar assim, mas quando tudo vai mal é aí que entra a resiliência, a arte de se reinventar depois de momentos difíceis.

Seu relacionamento acabou, foi demitido ou passou por uma doença complexa, tudo isso nos desestabiliza e por vezes faz com que nossas emoções fiquem fragilizadas. A resiliência é justamente a recuperação, a forma como vamos superar essas dificuldades e vamos nos reerguer.

Temos que aprender diariamente que independente do momento que passamos, precisamos aprender a lidar com essas situações e não se desesperar, encarar tudo como algo que pode ser recuperado, retomado, consertado e renovado. Tudo pode ter uma segunda chance e por isso a dica é nunca desistir e se refazer depois de cada prova.

Aprenda a Ouvir

Pessoas com grande inteligência emocional tem uma qualidade que pouco é encontrada: elas sabem ouvir. Enquanto a maioria de nós adora falar, o inteligente emocional consegue se calar e absorver o momento presente, o ambiente e procura na observação, ser alguém que está pronto para escutar.

Elas oferecem seus ombros para os amigos chorarem, sabem guardar segredos, ouvem as dores e também as alegrias e não deixam que as palavras as joguem em grandes armadilhas, mas sempre possui sabedoria nos lábios e por isso transmitem confiança a todos que se aproximam dela.

Tenha Empatia Pelo Próximo

Empatia é sentir a dor do outro, é se colocar no lugar da outra pessoa. Quantas vezes podíamos entender um amigo, apenas nos colocando em seu lugar? Tentando imaginar a nossa vida naquela situação? Se assim fosse, evitaríamos tantos desentendimentos e discussões.

Inteligência Emocional é saber sentir a outra pessoa em sua totalidade e não existe a possibilidade de ter um emocional rico senão através da empatia. Exercite isso pelas pessoas e veja sua vida mudar pra melhor.

Expresse Seus Limites

Temos nossos limites bem delimitados, porém nem sempre deixamos claro para as outras pessoas. Quando não fazemos isso, é fácil alguém nos tratar com desrespeito, agir com ofensas e avançar as barreiras que colocamos para determinadas situações.

Deixe claro para as pessoas que seu sim é sim e o não é não, pois os ´´mas, pode ser e tudo bem“ podem ser tolerâncias e oportunidades que nem sempre você quer dar. Expresse e deixe muito claro suas vontades, desejos e até onde as pessoas podem ir contigo, pois amizades e amores só conquistamos quando a autenticidade está apurada. 

Aprenda Com as Emoções Negativas

A tristeza, solidão, infelicidade e angústia, são emoções que nos trazem grande sofrimento, mas podem ser justamente elas que tem algo de bom para nos ensinar. A tristeza de um relacionamento rompido pode ser dolorosa, mas algo que depois de superada, é um aprendizado que irá te preparar para outros relacionamentos.

Cada emoção negativa que temos, mostra e ensina como podemos ser melhores. Cada lágrima, cada dor e momento ruim tem um algo especial para moldar sua personalidade e forjar seu caráter, então entenda que uma pessoa que lida bem com suas emoções hoje, é que aprendeu com seus momentos difíceis do passado.

Inteligência Emocional, Muito Mais Que Qi

Ao contrário do Coeficiente de Inteligência, a nossa inteligência mental comum, a Inteligência Emocional é totalmente flexível, maleável e pode ser aprendida e enriquecida conforme o tempo. A inteligência mental também pode ser aprimorada, porém ela tem uma base física muito mais racional, enquanto nossas emoções segue caminhos atrelados aos nossos sentimentos.

Por isso é muito mais difícil lidar com nossos monstros internos e a forma como eles aparecem do que com um cálculo exato que independente da ordem dos fatores o resultado sempre será um só. Quem domina bem suas próprias emoções está anos luz a frente de outras pessoas, e por isso consegue encarar as pressões da vida com muito mais perseverança e perspicácia.

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