Soma dos termos de uma progressão geométrica infinita

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Supondo que tivéssemos uma sequência em progressão geométrica e quiséssemos saber qual é o valor da soma de seus n primeiros termos. É claro que quando limitamos o número de elementos, por exemplo, S_né a soma dos seus n primeiros termos, a₁ é chamado o primeiro termo de uma sequência e é a razão da P.G.

$<![CDATA[ S_n = a_1 \cdot \frac{(1-q^n)}{(1-q)} ]]>$

Porém, se quiséssemos descobrir qual é a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica a nossa análise mudaria totalmente. Ora, se a P.G. em questão for crescente não seria possível determinar a sua soma ao infinito pois certamente o seu valor tenderia ao infinito também. Então questionamos: Qual seria o valor da soma de uma P.G. infinita? Para isso, devemos introduzir alguns conceitos a respeito de sequências e séries:

Sequências numéricas do tipo (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n) podem ser definidas por fórmulas.

Exemplo 1: Seja a sequência $<![CDATA[ \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, ...\right) ]]>$, podemos dizer que o seu termo geral é dado pela fórmula:

$<![CDATA[ a_n = \frac{n}{n+1} ]]>$, com n = 1, 2, 3 ...

Ou recursivamente, como:

$<![CDATA[ a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = a_{n+2} = a_{n+1} + \frac{a_{n+1} - a_n}{2} ]]>$

Com $<![CDATA[ n \in \mathbb{N}\text{*} ]]>$.

Exemplo 2: Tomemos a sequência infinita $<![CDATA[ a_n = \frac{1}{n} ]]>$, os seus elementos serão representados por:

$<![CDATA[ \left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ..., \frac{1}{50}, ..., \frac{1}{n}, ...\right) ]]>$

Observe que, se o valor de n for muito grande, então a razão tende a zero. Por exemplo, $<![CDATA[ \frac{1}{100.000} = 0,00001 ]]>$. Então o termo geral tenderá a zero quanto maior for o valor de n. Representando em notação de limites, dizemos que o limite da sequência quando n tende ao infinito ($<![CDATA[ n \rightarrow \infty ]]>$) é zero, ou seja:

$<![CDATA[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 ]]>$

Lembrando que uma P.G. é decrescente quando possui duas características: Quando 0 < q < 1 e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos negativos. Porém, se pensarmos que quando o módulo da razão da P.G. estiver entre 0 e 1 (0 < |q| < 1), a soma dos seus n primeiros termos terá um limite finito quando n tender ao infinito. Em outras palavras, qⁿ aproxima-se de zero quando n for suficientemente grande, então:

$<![CDATA[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} q^n = 0 ]]>$

Como a soma dos n primeiros termos da P.G. é dada por:

$<![CDATA[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1-q} ]]>$

Então podemos dizer que:

$<![CDATA[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = a_1 \cdot \frac{1-0}{1-q} ]]>$

E como 0 < |q| < 1, concluímos que:

$<![CDATA[ \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-q} ]]>$

Portanto, a soma dos infinitos termos de uma P.G. quando a razão 0 < |q| < 1 será dada por:

$<![CDATA[ S_n = \frac{a_1}{(1-q)} ]]>$

Exemplo 3: Podemos representar a soma de uma sequência pelo símbolo do somatório. Supondo que uma sequência já esteja definida como uma fórmula, por exemplo, a sequência $<![CDATA[ \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ...\right) ]]>$. Sabemos que é uma P.G. de razão $<![CDATA[ q = \frac{1}{2} ]]>$, que é um valor entre 0 e 1, e que a fórmula do termo geral é dada por $<![CDATA[ a_n = \frac{1}{2^n} ]]>$. Escrevemos então o seu somatório:

$<![CDATA[ \displaystyle S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... ]]>$

Lê-se: Somatório de $<![CDATA[ \frac{1}{2^n} ]]>$ quando n varia de 1 ao infinito.

Utilizando a fórmula para determinar a soma desta P.G. obtemos:

$<![CDATA[ S_n = \frac{a_1}{(1-q)} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 ]]>$

Então, a soma desta sequência em P.G. até o infinito será igual a 1, ou que o limite desta sequência é 1.

Referências Bibliográficas:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 4: São Paulo: Editora Atual, 2013.

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

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