Limites de funções

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Para calcularmos limites de funções é necessário recordarmos a definição formal de limites e também o conceito de continuidade de funções (ler o artigo sobre limites); então, a definição formal de limites nos diz:

Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto contido no domínio de 𝑓. Dizemos que 𝑓 tem limite 𝐿, no ponto 𝑎, se dado qualquer 𝜀 > 0, exista um 𝛿 > 0 tal que, para qualquer 𝑥 pertencente ao domínio de 𝑓, a condição abaixo seja satisfeita:

0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

O limite L, quando existe, é único e representamos por:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L ]]>$

Se combinarmos a definição de continuidade e de limites podemos simplesmente dizer que, se uma função 𝑓(𝑥) é contínua em 𝑎, então:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) ]]>$

Vamos, primeiramente, introduzir algumas propriedades úteis para calcular limites de funções:

1) Considere duas funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) onde queremos calcular o limite da soma de ambas. Neste caso, o limite da soma é a soma dos limites, ou seja:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}[f(x)\pm g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\pm\lim_{x\rightarrow a}g(x) ]]>$

Exemplo 1: Vamos calcular o limite de $<![CDATA[ h(x)=5x^2+2x ]]>$ tendendo a 1:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}(5x^2+2x) ]]>$

Note que a função poder ser escrita como a soma de duas outras, onde $<![CDATA[ f(x)=5x^2 ]]>$ e $<![CDATA[ g(x)=2x ]]>$. Como ambas são contínuas num ponto 𝑎 qualquer que, neste caso, é igual a 1, temos:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}(5x^2+2x)=\lim_{x\rightarrow 1}5x^2+\lim_{x\rightarrow 1}2x= ]]>$

$<![CDATA[ =5(1)^2+2(1)=5+2=7 ]]>$

Logo, o limite da função no ponto 𝑥 = 1 vale 7, em outras palavras, 7 é o valor que $<![CDATA[ 5x^2+2x ]]>$ deveria ter em 1 para ser contínua nesse ponto.

2) Seguinte a mesma lógica, se uma função é escrita pelo produto de duas outras, então vale a propriedade:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}[f(x)\cdot g(x)]=\left[\lim_{x\rightarrow a}f(x)\right]\cdot\left[\lim_{x\rightarrow a}g(x)\right] ]]>$

Ou seja, o limite do produto, é o produto dos limites.

3) Se uma função é obtida pela razão de duas outras, então vale:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}g(x)} ]]>$

4) Se quisermos calcular o limite de uma função constante do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑘, o seu limite será a própria constante:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}k=k ]]>$

5) As funções do tipo $<![CDATA[ f(x)=x^n ]]>$ e $<![CDATA[ f(x)=\sqrt[n]{x} ]]>$ são contínuas para qualquer valor de 𝑛 pertencente aos naturais e maior do que 1 (∀𝑛 ≥ 1 , 𝑛 ∈ ℕ). Logo, podemos calcular o limite de funções desse tipo segundo a regra:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}x^n=a^n ]]>$

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a} ]]>$

Muitas vezes, para calcularmos limites de funções, utilizar técnicas de fatoração podem nos ajudar a poupar tempo. Vejamos:

Exemplo 2: Vamos calcular:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right) ]]>$

Note que se quiséssemos calcular este limite seguindo a regra número 3, encontraríamos uma indeterminação, pois a função não é contínua no ponto 𝑥 = 1,veja o porquê:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right)=\frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}(x^2-1)}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)}=\frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0} ]]>$

O quociente 0/0 é indeterminado. Mas agora, se fizermos uma manipulação algébrica na expressão fatorando os termos, obtemos:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right)=\lim_{x\rightarrow 1}\left[\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}\right]=\lim_{x\rightarrow 1}(x+1) ]]>$

Como a expressão simplificada resultou em uma função 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, que é contínua em 𝑥 = 1, podemos então calcular o seu limite:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)=1+1=2 ]]>$

O limite de uma função 𝑓(𝑥) num ponto 𝑎 não depende do valor que 𝑓(𝑥) assume em 𝑎 mas sim, dos valores que 𝑓(𝑥) assume próximo de 𝑎 (ver artigo sobre limites). Esta manipulação algébrica, do exemplo acima, serviu apenas como uma forma de transformação da expressão, a fim de encontrarmos esses valores pois na sua forma original encontrávamos uma indeterminação.

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.

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