Limites infinitos

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Limites infinitos, diferente dos limites tendendo ao infinito, são aqueles em que o limite é infinito. Para apresentarmos melhor este conceito, partiremos para assuas definições formais:

Seja 𝑓 uma função e 𝑎 um ponto que pertence ao intervalo ]𝑎, 𝑏[, contido no domínio de 𝑓. Para qualquer 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0, com 𝑎 + 𝛿 < 𝑏 tal que

𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀

O limite L, quando existe, é único e representamos por:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=+\infty ]]>$

Ou:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty ]]>$

Se:

𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝜀

E também:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty ]]>$

Se:

𝑥 > 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < −𝜀

1) Vamos calcular um limite fundamental usando a definição formal de limites tendendo a mais infinito:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x} ]]>$

Primeiramente, analise o gráfico desta função:

Note que quanto mais 𝑥 se aproxima de zero, maior é o valor de 𝑦, o que nos remete a:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty ]]>$

Podemos ainda provar este fato usando a definição:

Dado 𝜀 > 0 e, sendo 𝛿 = 1/𝜀 dizemos que:

$<![CDATA[ 0<x<\delta\Rightarrow\frac{1}{x}>\epsilon ]]>$

Então:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x}=+\infty ]]>$

2) Vamos investigar o limite:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{(x-2)^2} ]]>$

Construindo o seu gráfico, temos:

Intuitivamente podemos constatar que:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=\infty ]]>$

E o limite quando 𝑥 = 2 simplesmente não existe. Para isso, basta construir uma tabela com uma variação de valores da função.

3) Agora, este limite:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}x ]]>$

Será sempre infinito em ambas as direções:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm\infty}x=\pm\infty ]]>$

4) Este é interessante:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(3x^2-5x+2) ]]>$

Podemos dizer que:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(3x^2-5x+2)=\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right) ]]>$

Por definição:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2\cdot\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)= ]]>$

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(x\cdot x)\cdot\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right) ]]>$

Então:

$<![CDATA[ \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^2\cdot\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)= ]]>$

$<![CDATA[ +\infty\cdot 3=+\infty ]]>$

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977.

ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.

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