Números primos

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Os números primos fascinam matemáticos há mais de 2000 anos. Os números primos são o santo graal da matemática pois, mesmo tendo uma definição tão simples muitos problemas que os envolvem ainda não estão solucionados. Vamos definir o que é um número primo:

Os números primos são aqueles em que possuem apenas dois divisores: 1 e o próprio número.

Agora, vamos identificar alguns números primos segundo a definição acima a partir do conjunto dos naturais N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} . Os 7 primeiros primos listados seriam: 2, 5, 7, 9, 11, 13.

Os números 0, 1, 4, 6, 8, 10 e 12 não são primos pois possuem mais de um divisor, por exemplo, o 6 pode ser dividido por 1, 2, 3 e o próprio 6. O 8 é dividido por 1, 2, 4 e 8. O zero não pode ser primo, pois ele pode ser dividido por qualquer outro número que, ainda assim seria zero, o que nos leva uma infinidade de divisores. Já o 1 também não pode ser primo pois ele possui um único divisor, ele mesmo. O número 2 é o menor primo e o único par.

A complexidade começa aqui: Como saber se um número é primo ou não? Para números pequenos é fácil responder a esta pergunta, mas quando pensamos na infinidade de números naturais que existem, escolhermos um e ainda identificar se ele é primo ou não, é um desafio e tanto! Infelizmente, não existe uma fórmula que determine se um número é, ou não, primo, mas há diversas ferramentas para nos ajudar nesta tarefa. O método mais conhecido é o Crivo (ou Algoritmo da Divisão) de Eratóstenes.

Este método consiste basicamente em testar se o número é, ou não, divisível por algum número natural menor do que ele próprio. Vamos agora mostrar como o Crivo de Eratóstenes funciona para determinar todos os números primos de 1 a 100:

1. Escreva todos os números de 1 a 100 numa tabela.
2. Elimine todos os múltiplos de 2, exceto o próprio 2 que já sabemos que é primo.
3. Depois, faça isto com os múltiplos de 3, exceto o 3 que também é primo.
4. O próximo da lista não riscado seria o 5, risque os múltiplos também.

Seguindo este método recursivamente, como vemos na tabela abaixo, os números verdes são os primos, os outros são números que são múltiplos de algum primo:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Teorema de Eratóstenes

Dado $<![CDATA[ x\geq 2 ]]>$, para garantirmos que é primo basta mostrar que nenhum número primo $<![CDATA[ p\leq\sqrt{x} ]]>$ divida x.

Isto significa que para determinarmos se um número $<![CDATA[ x\geq 2 ]]>$ é primo, dividimos sucessivamente x até somente $<![CDATA[ \sqrt{x} ]]>$. Se uma dessas divisões for exata, constatamos que x não é primo. Do contrário, se nenhuma for exata, então x é primo. No caso acima, como $<![CDATA[ \sqrt{100}=10 ]]>$, então bastaríamos eliminar os múltiplos de 2, 3, 5 e 7.

Teorema Fundamental da Aritmética (T.F.A.)

Todo número inteiro maior do que 1, 0 e -1 pode ser escrito (ou decomposto) pelo produto de fatores primos de forma única.

Exemplos:

• O número 15 pode ser escrito como (3.5), onde 3 e 5 são primos;
• 28 = 2.2.7 (2 e 7 são primos)
• 135 = 3.3.3.5

Se elevarmos qualquer número inteiro a uma potência de qualquer valor (2, 3, 4, ...) o T.F.A. continuará valendo, por exemplo:

• 15² = 3². 5² = 9 . 25 = 225
• 28² = 2².2².7² = 4.4.49 = 784
• 135³ = 3³. 3³. 3³.5³ = 27.27.27.125 = 2460375

Podemos então generalizar. Qualquer número inteiro x pode ser escrito da seguinte forma:

$<![CDATA[ x=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot ...\cdot P_n ]]>$

E se elevarmos esse número inteiro a qualquer potência de valor m teremos:

$<![CDATA[ x^m=P_1^m\cdot P_2^m\cdot P_3^m\cdot ...\cdot P_n^m ]]>$

Sendo P₁, P₂, P₃ ... P_n números primos.

A distribuição de primos é totalmente irregular e descobrir os seus segredos tem sido um objetivo para muitos matemáticos.

Referências Bibliográficas:

MILIES, César Polcino; COELHO, Sônia Pitta. Números: Uma Introdução à Matemática. São Paulo: EDUSP,2013.

HEFEZ, Abramo. Elementos da Aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2011.

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