Professora Evelyn: Regras de derivação

As regras de derivação são formas de generalizar a derivada de algumas funções. Elas são muito úteis quando, ao resolver um exercício, por exemplo, podemos identificar a forma que a sua expressão assume. Por exemplo: uma função pode ser resultado da soma de duas outras, ou o produto, a razão. Vamos mostrar mais adiante essas estruturas, mas antes, vamos relembrar a definição de derivação:

Definição: Seja 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto do seu domínio. O limite:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

quando existe e é finito, o chamamos de derivada de 𝑓 em 𝑝 e indica-se por 𝑓′(𝑝). Ou seja:

$\displaystyle f'(p)=\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

Se 𝑓 admite derivada em 𝑝, então dizemos que 𝑓 é diferenciável ou derivável em𝑝.

Exemplo 1 - Soma de duas funções:

Como dito anteriormente, a expressão de uma função pode ter algumas formas que podemos identificar com facilidade. Por exemplo, a função abaixo,

$f(x)=5x^2+3x$

pode ser obtida pela soma de duas funções, ambas de 𝑥, ou seja:

$u(x)=5x^2$

$v(x)=3x$

O que nos traz:

$f(x)=u(x)+v(x)=5x^2+3x$

Por uma questão de praticidade, podemos chamar a função 𝑢(𝑥) apenas de 𝑢 e a função 𝑣(𝑥) apenas de 𝑣. Agora podemos nos perguntar: Como derivar uma função em que sua expressão é sempre a soma de duas ou mais funções? Vamos generalizar:

Sejam 𝑢 e 𝑣 diferenciáveis em 𝑝, então 𝑢 + 𝑣 também é diferenciável em 𝑝. Logo, por definição podemos escrever:

$f(x)=(u+v)(x)\Rightarrow f'(x)=(u+v)'(x)$

E, calculando esta derivada desta função num ponto 𝑝, a partir da definição de derivação, temos:

$f'(p)=(u+v)'(p)=$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{[u(x)+v(x)]-[u(p)+v(p)]}{x-p}$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{[u(x)-u(p)]}{x-p}+\frac{[v(x)-v(p)]}{x-p}$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{[u(x)-u(p)]}{x-p}+\lim_{x\rightarrow p}\frac{[v(x)-v(p)]}{x-p}$

Como podemos ver:

$(u+v)'(p)=u'(p)+v'(p)$

A derivada de uma soma é igual a soma das derivadas.

Exemplo 2 - Um número real multiplicado por uma função:

Agora, vamos considerar uma função que esteja sendo multiplicada por um número real 𝛼. Por exemplo:

$f(x)=7x^3$

Podemos representar essa expressão da seguinte maneira:

$u(x)=x^3$

$\alpha=7$

Logo:

$f(x)=\alpha\cdot u(x)=(\alpha\cdot u)(x)$

Utilizando a definição para calcular a derivada num ponto 𝑝 de funções desse tipo, temos:

$\displaystyle f'(p)=(\alpha\cdot u)'(p)=\lim_{x\rightarrow p}\frac{[\alpha\cdot u(x)+\alpha\cdot u(p)]}{x-p}$

$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow p}\alpha\cdot\frac{[u(x)+u(p)]}{x-p}$

$\displaystyle=\alpha\cdot\lim_{x\rightarrow p}\frac{[u(x)+u(p)]}{x-p}$

$=\alpha\cdot u'(p)$

Existem diversas outras regras de derivação, sendo que todas elas podem ser obtidas a partir da definição formal da derivada de uma função. Abaixo uma lista com as regras mais utilizadas:

Produto de duas funções:

$(u\cdot v)'=u'v+uv'$