Raízes de uma equação

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O conceito de raízes de equações é bem simples. Basicamente, é chamado de raiz de uma equação o valor que suas variáveis assumem de modo que essa equação seja válida perante a igualdade. O número de raízes de uma equação é dado pelo grau que ela possui. Vejamos abaixo alguns casos:

1) As equações do primeiro grau possuem uma única raiz:

$<![CDATA[ ax+b=0 ]]>$

Existe um valor de 𝑥 que deve satisfazer esta igualdade, logo ele é a única raiz desta equação.

Exemplo 1:

$<![CDATA[ 3x+5=20 ]]>$

$<![CDATA[ 3x=20-5 ]]>$

$<![CDATA[ 3x=15 ]]>$

$<![CDATA[ x=\frac{15}{3}=5 ]]>$

Neste caso, a raiz que satisfaz esta equação é 𝑥 = 5.

2) As equações quadráticas possuem duas raízes:

$<![CDATA[ ax^2+bx+c=0 ]]>$

Podemos encontrar essas raízes pela famosa fórmula de Bháskara:

$<![CDATA[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a} ]]>$

Exemplo 2:

$<![CDATA[ x^2-5x+6=0 ]]>$

Resolvendo, temos:

$<![CDATA[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1} ]]>$

$<![CDATA[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}\Rightarrow\begin{cases}x_1=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\\x_2=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\end{cases} ]]>$

Também, de uma forma menos comum, é possível encontrar as raízes de uma equação do segundo grau pelo método de Girard (ou relações de Girard). Sejam 𝑥₁ e 𝑥₂ raízes de uma equação quadrática, temos a relação:

$<![CDATA[ \begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\end{cases} ]]>$

Exemplo 3: Vamos calcular o exemplo 2 novamente, mas usando as relações de Girard:

$<![CDATA[ \begin{cases}x_1+x_2=-\frac{(-5)}{1}\\x_1\cdot x_2=\frac{6}{1}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1\cdot x_2=6\end{cases} ]]>$

Resolvendo o sistema, temos que 𝑥₁ = 3 e 𝑥₂ = 2.

3) Equações do terceiro grau possuem três raízes:

$<![CDATA[ ax^3+bx^2+cx+d=0 ]]>$

Estas são 𝑥₁, 𝑥₂ e 𝑥₃. Podemos encontrar estas raízes pelo método de Girard, mas agora ele terá uma nova raiz e, portanto, uma nova forma:

$<![CDATA[ \begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\(x_1\cdot x_2)+(x_2\cdot x_3)+(x_1\cdot x_3)=\frac{c}{a}\\x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\frac{d}{a}\end{cases} ]]>$

Note que nos três exemplos acima, 𝑎 necessariamente precisa ser diferente de zero.

Não devemos nos ater apenas aos exemplos acima para determinarmos oque é uma raiz de uma equação. Se uma equação possui solução (ou soluções) então essa (ou essas) é (são) a sua raiz (ou raízes).

Referências Bibliográficas:

GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

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