Equação exponencial

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Conceitualmente, uma equação é chamada de exponencial se as variáveis se encontram no expoente de uma expressão. Para melhor compreensão deste conteúdo, é necessário recordar os conceitos de potenciação e de radiciação. Sendo assim, vamos dar alguns exemplos do que podem ser equações exponenciais:

$<![CDATA[ 5^x=125 ]]>$

$<![CDATA[ 36^{x+1}=\sqrt{6^x} ]]>$

$<![CDATA[ \left(\frac{1}{2}\right)^x=\sqrt[3]{4} ]]>$

A ideia para resolver equações exponenciais se resume em transforma-las em uma igualdade de potencias de mesma base, ou seja, assumir a forma:

$<![CDATA[ a^x=a^y\Rightarrow x=y ]]>$

Vamos exemplificar:

1) Vamos resolver a equação $<![CDATA[ 4^{x+1}=64 ]]>$.

Como devemos igualar as bases de ambos os lados da identidade, podemos dizer que:

$<![CDATA[ 4^{x+1}=4^3 ]]>$

Agora:

$<![CDATA[ x+1=3\Rightarrow x=2 ]]>$

2) Agora, resolveremos $<![CDATA[ 36^{x+1}=\sqrt{6^x} ]]>$.

Utilizando algumas propriedades básicas de potências, podemos igualar as bases dessa forma:

$<![CDATA[ (6^2)^{x+1}=6^{\frac{x}{2}} ]]>$

Continuando, temos:

$<![CDATA[ 6^{2x+2}=6^{\frac{x}{2}} ]]>$

O que nos dá:

$<![CDATA[ 2x+2=\frac{x}{2} ]]>$

$<![CDATA[ 2(2x+2)=x ]]>$

$<![CDATA[ 4x+4=x ]]>$

$<![CDATA[ 4x-x=-4 ]]>$

$<![CDATA[ 3x=-4 ]]>$

$<![CDATA[ x=-\frac{4}{3} ]]>$

3) Agora, $<![CDATA[ 0,75^x=\frac{9}{16} ]]>$.

Note na transformação do número decimal para uma fração:

$<![CDATA[ \left(\frac{3}{4}\right)^x=\frac{3^2}{4^2} ]]>$

Logo:

$<![CDATA[ \left(\frac{3}{4}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^2 ]]>$

Portando,

$<![CDATA[ x=2 ]]>$

4) Agora, um exemplo um pouco menos intuitivo que também pode ser uma introdução aos logaritmos. Vamos resolver:

$<![CDATA[ 3^{2x}=3^x+12 ]]>$

Note que podemos escrever a equação, pela propriedade de potencias, desta maneira:

$<![CDATA[ (3^x)^2=3^3+12 ]]>$

Se fizermos a seguinte substituição $<![CDATA[ 3^x=y ]]>$, podemos reescrever a equação na forma de uma equação do segundo grau:

$<![CDATA[ y^2=y+12 ]]>$

Resolvendo esta equação, temos que existem duas raízes possíveis:

$<![CDATA[ \begin{cases}y_1=4\\y_2=-3\end{cases} ]]>$

Mas, atenção! Quando substituímos as raízes possíveis na identidade $<![CDATA[ 3^x=y ]]>$ nós precisamos verificar se ambas as raízes são válidas, ou seja:

$<![CDATA[ y_1=3^x=4 ]]>$

$<![CDATA[ y_2=3^x=-3 ]]>$

No caso da primeira raiz, é possível que exista 𝑥 que satisfaça a igualdade, que no caso será:

$<![CDATA[ x=\log_3 4 ]]>$

Mas, a segunda raiz não é possível pois, não existe um número que quando elevado a qualquer outro nos retorne um valor negativo:

$<![CDATA[ 3^x=-3\Rightarrow \not\exists x ]]>$

Leia também:

• Inequações exponenciais

Referências Bibliográficas:

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

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