Professora Evelyn: Cálculo de derivadas

As derivadas possuem diversas aplicações na matemática, física, geometria,economia, entre outros. O conceito inicial do cálculo de derivadas remete ao que chamamos de taxa de variação.

Taxa de Variação:

Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥), a taxa média de variação de 𝑦 com relação a 𝑥 sobre um intervalo [𝑝, 𝑥] é dada por:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

Podemos obter esta definição partindo de um exemplo gráfico. Supondo, por exemplo, um problema que consiste em definir a reta tangente ao gráfico de uma função 𝑓 no ponto (𝑝, 𝑓(𝑝)). Esta reta deve passar então pelo ponto (𝑝, 𝑓(𝑝)). O que nos resta agora, para definir tal reta, é atribuirmos o seu coeficiente angular. Considere que exista uma reta 𝑟 que passe pelos pontos (𝑝, 𝑓(𝑝)) e (𝑥, 𝑓(𝑥)), ou seja, que é secante a 𝑓:

Por definição, temos que o coeficiente angular 𝑚 da reta 𝑟 (ou 𝑚_𝑟) é dado por:

$m_r=\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

Em outras palavras, quando 𝑥 tende a 𝑝, o coeficiente angular 𝑚_𝑟 tende a𝑓′(𝑝). Apresentadas as noções de taxa de variação, abaixo seguem as definições de derivada:

Definição 1: Seja 𝑓 uma função e 𝑝 um ponto do seu domínio. O limite:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

quando existe e é finito, o chamamos de derivada de 𝑓 em 𝑝 e indica-se por 𝑓′(𝑝). Ou seja:

$\displaystyle f'(p)=\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

Se 𝑓 admite derivada em 𝑝, então dizemos que 𝑓 é diferenciável ou derivável em 𝑝.

Definição 2: Seja 𝑓′(𝑝) a derivada da função 𝑓 em 𝑥 = 𝑝. Se considerarmos uma pequena variação de 𝑥 onde 𝑥 = 𝑝 + ℎ, então fazer 𝑥 se aproximar de 𝑝 é o mesmo que fazer ℎ tender a zero. Em outras palavras:

$\displaystyle f'(p)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}$

Desde que o limite acima exista.

Notações:

Existem diversas notações para a derivada de uma função. Porém, todas elas no final, representam a mesma coisa. Abaixo alguns exemplos com a forma com que devemos “ler” a notação:

$f'(x)$	“𝑓 linha de 𝑥”
$\frac{dy}{dx}$	Derivada da função 𝑦 em relação à 𝑥. (𝑦 = 𝑓(𝑥))
$\frac{d}{dx}f(x)$	Derivada da função 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥
$\frac{df}{dx}$	Derivada de 𝑓 em relação a 𝑥