Raiz quadrada de números decimais

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Números decimais quando dentro de uma raiz quadrada possuem algumas peculiaridades ao calcular o seu valor, mas as propriedades sobre radiciação continuam valendo. Seja a igualdade $<![CDATA[ b^2=a ]]>$ dizemos que b é a raiz quadrada de a, ou seja:

$<![CDATA[ b^2=a\rightarrow\sqrt{a}=b ]]>$

O símbolo $<![CDATA[ \sqrt{\hspace{0.5cm}} ]]>$ é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice.

Propriedades de radiciação

1. $<![CDATA[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} ]]>$

2. $<![CDATA[ (\sqrt[n]{a})^n=\sqrt[n]{a^n}=a ]]>$

3. $<![CDATA[ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m} ]]>$

4. $<![CDATA[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} =\sqrt[n\cdot m]{a} ]]>$

5. $<![CDATA[ \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} ]]>$

6. $<![CDATA[ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\rightarrow (b\neq 0) ]]>$

7. $<![CDATA[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[m]{b}=\sqrt[n\cdot m]{a^m\cdot b^n} ]]>$

8. $<![CDATA[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\frac{\sqrt[n\cdot m]{a^m}}{\sqrt[n\cdot m]{b^n}}=\sqrt[n\cdot m]{\frac{a^m}{b^n}} ]]>$

9. $<![CDATA[ \frac{x}{\sqrt[n]{a}}=\frac{x\cdot\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}\rightarrow (a\neq 0) ]]>$

10. $<![CDATA[ \frac{x}{\sqrt[n]{a}\pm\sqrt[n]{b}}=\frac{x(\sqrt[n]{a}\pm\sqrt[n]{b})}{a-b} ]]>$

Como estamos lidando apenas com raízes quadradas de números decimais neste texto, consideremos a partir de agora que o índice sempre será 2.

Calculando o valor de raízes

Exemplo 1) Vamos calcular o valor de $<![CDATA[ \sqrt{1,44} ]]>$.

O método mais simples para calcularmos essa raiz é aquele em que transformamos o número decimal em uma fração:

$<![CDATA[ 1,44=\frac{144}{100} ]]>$

Então, se seguirmos a propriedade (6), temos:

$<![CDATA[ \sqrt{\frac{144}{100}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}}=\frac{12}{10}=1,2 ]]>$

Exemplo 2) Calcule $<![CDATA[ \sqrt{0,09} ]]>$.

Transformando em fração: $<![CDATA[ 0,09=\frac{9}{100} ]]>$.

Então: $<![CDATA[ \sqrt{\frac{9}{100}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}}=\frac{3}{10}=0,03 ]]>$.

Exemplo 3) Agora, vamos calcular um número decimal com dízima periódica numa raiz quadrada:

$<![CDATA[ \sqrt{0,4444...} ]]>$ ou $<![CDATA[ \sqrt{0,\overline{4}} ]]>$

Ao calcularmos a fração geratriz de $<![CDATA[ \sqrt{0,\overline{4}} ]]>$ obtemos:

$<![CDATA[ 0,\overline{4}=\frac{4}{9} ]]>$

Então:

$<![CDATA[ \sqrt{0,\overline{4}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}=0,6666... \text{ ou }0,\overline{6} ]]>$

Exemplo 4) Um exemplo interessante agora. Vamos calcular:

$<![CDATA[ \sqrt{0,999...} ]]>$ ou $<![CDATA[ \sqrt{0,\overline{9}} ]]>$

Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos:

$<![CDATA[ 0,\overline{9}=\frac{9}{9}=1 ]]>$

Então:

$<![CDATA[ \sqrt{0,\overline{9}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9}}=\frac{3}{3}=1 ]]>$

Esta é uma das formas de provar que 0,999... = 1.

Referências Bibliográficas

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

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