Produtos notáveis

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Os produtos notáveis são uma forma de simplificar expressões algébricas. Eles são constantemente utilizados na matemática. Vamos agora mostrar os mais importantes:

• (𝑎+𝑏)¹ = 𝑎 + 𝑏
• (𝑎+𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²
• (𝑎+𝑏)³ = 𝑎³ + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³
• (𝑎+𝑏)⁴ = 𝑎⁴ + 4𝑎³𝑏 + 6𝑎²𝑏² + 4𝑎𝑏³ + 𝑏⁴
• (𝑎+𝑏)⁵ = 𝑎⁵ + 5𝑎⁴𝑏 + 10𝑎³𝑏² + 10𝑎²𝑏³ + 5𝑎𝑏⁴ + 𝑏⁵
• (𝑎+𝑏)⁶ = 𝑎⁶ + 6𝑎⁵𝑏 + 15𝑎⁴𝑏² + 20𝑎³𝑏³ + 15𝑎²𝑏⁴ + 6𝑎𝑏⁵ + 𝑏⁶

Vamos expandir a expressão (𝑥+3)³ utilizando os produtos notáveis acima.

Note que nessa expressão, 𝑥 faz o papel de 𝑎 e 3 faz o papel de 𝑏 nos produtos notáveis, então, podemos dizer que,

(𝑥+3)³ = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 + 3)²

Então,

(𝑥 + 3)³ = (𝑥 + 3) ∙ (𝑥² + 3𝑥 + 9)

(𝑥 + 3)³ = 𝑥³ + 9𝑥² + 27𝑥 + 27

Uma curiosidade interessante desses produtos notáveis é que eles são casos especiais do teorema binomial. Seus coeficientes aparecem no chamado triangulo de Pascal.

Existem ainda, outros produtos notáveis que são importantes:

• Diferença de dois quadrados: 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
• Soma de dois quadrados: 𝑎² + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)² − 2𝑎𝑏
• Soma de dois cubos: 𝑎³ + 𝑏³ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎² − 𝑎𝑏 + 𝑏²)
• Diferença de dois cubos: 𝑎³ − 𝑏³ = (𝑎 − 𝑏)(𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²)

Vamos resolver alguns exercícios:

1) (UFC) Calcule o valor de $<![CDATA[ x=\sqrt{(32+10\sqrt{7})}+\sqrt{(32-10\sqrt{7})} ]]>$.

Podemos elevar ao quadrado ambos os lados da equação e a partir dai utilizar os conceitos de produtos notáveis. Vamos também dizer que os termos $<![CDATA[ (32+10\sqrt{7}) ]]>$ de a e $<![CDATA[ (32-10\sqrt{7}) ]]>$ de b. Reescrevendo a equação:

$<![CDATA[ x=\sqrt{a}+\sqrt{b} ]]>$

$<![CDATA[ x^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 ]]>$

$<![CDATA[ x^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot(\sqrt{a}+\sqrt{b}) ]]>$

$<![CDATA[ x^2=a+b+2\sqrt{a}\sqrt{b} ]]>$

Agora, reinserindo os valores de 𝑎 e 𝑏:

$<![CDATA[ x^2=32+10\sqrt{7}+32-10\sqrt{7}+2\sqrt{(32+10\sqrt{7})\cdot(32-10\sqrt{7})} ]]>$

$<![CDATA[ x^2=64+2\sqrt{1024-320\sqrt{7}+320\sqrt{7}-700} ]]>$

$<![CDATA[ x^2=64+2\sqrt{324} ]]>$

$<![CDATA[ x^2=64+2(18) ]]>$

$<![CDATA[ x^2=100\longrightarrow x=\sqrt{100}=10 ]]>$

2) (IF-BA) Calcule o valor da expressão abaixo:

$<![CDATA[ \left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{9}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{81}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6561}\right) ]]>$

Este exercício é muito interessante. Se atribuirmos a igualdade $<![CDATA[ x=\frac{1}{3} ]]>$ note que algumas potências de 𝑥 aparecem na expressão. Observe:

$<![CDATA[ x=\frac{1}{3} ]]>$

$<![CDATA[ x^2=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9} ]]>$

$<![CDATA[ x^4=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81} ]]>$

$<![CDATA[ x^8=\frac{1}{3^8}=\frac{1}{6561} ]]>$

Então, convenientemente podemos fazer esta troca para continuarmos a calcular a expressão:

(1 − 𝑥) ∙ (1 + 𝑥) ∙ (1 + 𝑥²) ∙ (1 + 𝑥⁴) ∙ (1 + 𝑥⁸)

Agora, basta aplicar as regras de produtos notáveis, mais precisamente, a diferença de dois quadrados:

(1 − 𝑥²) ∙ (1 + 𝑥²) ∙ (1 + 𝑥⁴) ∙ (1 + 𝑥⁸)

(1 − 𝑥⁴) ∙ (1 + 𝑥⁴) ∙ (1 + 𝑥⁸)

(1 − 𝑥⁸) ∙ (1 + 𝑥⁸)

(1 − 𝑥¹⁶)

Agora basta reinserir o valor de 𝑥 que atribuímos. Logo, o valor da expressão é:

$<![CDATA[ \left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{16}\right] ]]>$

Existem ainda muitas aplicações envolvendo produtos notáveis. A ideia principal de usar esta ferramenta é identificar a estrutura da expressão, se ela coincidir com um produto notável, então é possível reduzir ou ampliar a expressão, dependendo da necessidade do problema.

Referências Bibliográficas

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contextos & Aplicações - Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2011.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

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