Módulo

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Antes de introduzirmos o conceito de módulo, vamos rapidamente revisar algumas definições importantes sobre os números reais:

O conjunto dos números racionais mais os irracionais formam o conjunto dos números reais.

$<![CDATA[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q} ]]>$

$<![CDATA[ \mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup I ]]>$

Podemos também representar o conjunto dos reais numa reta graduada:

 

Abaixo as desigualdades e relações de ordem de números Reais:

• Se $<![CDATA[ x\ge y ]]>$, dizemos que x é maior ou igual a y;
• Se $<![CDATA[ x>y ]]>$, então x é maior do que y;
• Se $<![CDATA[ x\neq y ]]>$, dizemos que x é diferente de y.

Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades:

• Reflexiva: $<![CDATA[ x\ge y ]]>$
• Antissimétrica: $<![CDATA[ x\ge y ]]>$ e $<![CDATA[ y\ge x\Rightarrow x=y ]]>$
• Transitiva: $<![CDATA[ x\ge y ]]>$ e $<![CDATA[ y\ge z\Rightarrow x\ge z ]]>$
• Compatibilidade com a Adição: $<![CDATA[ x\ge y\Rightarrow x+z\ge y+z ]]>$
• Compatibilidade com a Multiplicação: $<![CDATA[ x\ge y ]]>$ e $<![CDATA[ z\ge 0\Rightarrow xz\ge yz ]]>$

Exemplo 1) Tomemos agora 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑤, quaisquer números Reais e vamos descobrir se há uma relação de ordem entre eles dados 𝑥 ≤ 𝑦 e 𝑧 ≤ 𝑤.

Pela compatibilidade com a adição podemos dizer que:

𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧

𝑧 ≤ 𝑤 ⇒ 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑤

Agora, pela propriedade transitiva temos:

$<![CDATA[ \left.\begin{aligned}x+z\leq y+z\\y+z\leq y+w\end{aligned}\right\} \Rightarrow x+z\leq y+w ]]>$

Concluindo:

$<![CDATA[ \left.\begin{aligned}x\leq y\\z\leq w\end{aligned}\right\} \Rightarrow x+z\leq y+w ]]>$

Tendo em vista a importância de relembrar essas definições, tanto dos números reais quanto das desigualdades, a definição de módulo se torna então mais clara.

O módulo de um número real 𝑟 é, que é representado por |𝑟| onde:

|𝑟| = 𝑟 se 𝑟 ≥ 0

|𝑟| = −𝑟 se 𝑟 < 0

Podemos também dizer que o módulo de um número real é a “distancia”desse número até o zero da reta real. Por exemplo, a distância do número 4 até o zero seria o seu próprio valor:

|4| = 4

Já a distância do -13 até o zero seria de apenas 13.

|−13| = 13

E também temos algumas propriedades envolvendo os módulos de números reais que valem a pena ser apresentadas. Algumas delas são:

|𝑥| ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ

|𝑥| = 0 ⇒ 𝑥 = 0

|𝑥| ≥ 𝑥   ∀𝑥 ∈ ℝ

|𝑥| ≥ |−𝑥|   ∀𝑥 ∈ ℝ

|𝑥²| = |𝑥|2 = 𝑥²

|𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|

|𝑥 − 𝑦| ≥ |𝑥| − |𝑦|

|𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦|

$<![CDATA[ \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|} ]]>$

||𝑥| − |𝑦|| ≤ |𝑥 − 𝑦|

Estas propriedades e definições se tornam mais usuais quando lidamos com funções e/ou equações modulares.

Referências Bibliográficas

DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

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