Equações fracionárias

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Equações fracionárias são aquelas em que as incógnitas aparecem no denominador ou no numerador de equações. Basicamente, o que compõe uma equação fracionária são as chamadas frações algébricas, mas, a diferença é que agora devemos encontrar um valor para essas variáveis. Nunca devemos esquecer que uma fração é um número escrito na forma:

$<![CDATA[ \frac{p}{q}\Rightarrow q\neq 0 ]]>$

A operações entre frações (adição, subtração, divisão e multiplicação de frações) serão peças chave para resolver essas equações. Vamos relembrar:

Adição e Subtração de Frações:

$<![CDATA[ \frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ab\pm cd}{bd} ]]>$

Multiplicação e Divisão de Frações:

$<![CDATA[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{c\cdot d} ]]>$

$<![CDATA[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c} ]]>$

Exemplo 1) Vamos determinar qual é o valor de x na equação abaixo:

$<![CDATA[ \left(\frac{x+1}{x}\right)\cdot\left(\frac{3}{2}\right)=10 ]]>$

Note que na equação, podemos multiplicar as duas frações do lado esquerdo do membro, onde obtermos:

$<![CDATA[ \frac{3x+3}{2x}=10 ]]>$

Continuando, temos:

$<![CDATA[ 3x+3=10\cdot(2x) ]]>$

$<![CDATA[ 3x+3=20x ]]>$

$<![CDATA[ 20x-3x=-3 ]]>$

$<![CDATA[ 17x=-3 ]]>$

$<![CDATA[ x=-\frac{3}{17} ]]>$

Exemplo 2) Agora, vamos determinar o valor de x na expressão:

$<![CDATA[ \frac{x+2}{4}-\frac{5x}{3}=\frac{2x-3}{2} ]]>$

Somando as frações do lado esquerdo da expressão utilizando a propriedade de soma de frações, temos:

$<![CDATA[ \frac{3(x+2)-4(5x)}{12}=\frac{2x-3}{2} ]]>$

$<![CDATA[ \frac{3x+6-20x}{12}=\frac{2x-3}{2} ]]>$

$<![CDATA[ 2(3x+6-20x)=12(2x-3) ]]>$

$<![CDATA[ 6x+12-40x=24x-36 ]]>$

$<![CDATA[ 24x-6x+40x=12+36 ]]>$

$<![CDATA[ 58x=48 ]]>$

$<![CDATA[ x=\frac{48}{58} ]]>$

Simplificando a fração obtida acima, obtemos:

$<![CDATA[ x=\frac{24}{29} ]]>$

Exemplo 3) Agora, este exemplo:

$<![CDATA[ \frac{3}{2x}-\frac{5}{x}+\frac{2}{3}=\frac{1}{2} ]]>$

Como estamos lidando com equações, vamos isolar os termos dependentes de x e as constantes:

$<![CDATA[ \frac{3}{2x}-\frac{5}{x}=\frac{1}{2}-\frac{2}{3} ]]>$

Agora basta somarmos as frações de ambos os lados:

$<![CDATA[ \frac{3x-10x}{2x^2}=\frac{3-4}{6} ]]>$

$<![CDATA[ \frac{-7x}{2x^2}=\frac{-1}{6} ]]>$

Multiplicando em cruz a igualdade, temos:

$<![CDATA[ -42x=-2x^2 ]]>$

Como os dois lados da igualdade são negativas, podemos multiplicar tudo por (-1), o que nos dá:

$<![CDATA[ 2x^2=42x ]]>$

$<![CDATA[ 2x=42 ]]>$

$<![CDATA[ x=\frac{42}{2} ]]>$

$<![CDATA[ x=21 ]]>$

Referências Bibliográficas

GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.

MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974.

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