Professora Evelyn: Teoria dos conjuntos

Chamamos de conjunto toda e qualquer coleção de elementos. Estes elementos podem ser números, objetos, figuras, pessoas, animais e tudo o que podemos ordenar, catalogar ou reunir em grupos de seus elementos. Por exemplo: Se quisermos construir o conjunto de crianças de uma escola que possuam exatos 10 anos de idade, podemos dizer que o conjunto é composto pelos alunos Pedrinho, Joãozinho, Mariazinha, ..., e todos os alunos que tenham 10 anos de idade na escola. Matematicamente, quase sempre os conjuntos serão compostos por números e que dependam de algumas condições. Por exemplo: O conjunto dos números Reais, o conjunto dos números Inteiros, o conjunto dos números maiores do que 2 e menores do que 7, e muito mais.

A relação básica entre um conjunto e o elemento que o compõe é chamada de relação de pertinência, ou seja, definimos um conjunto quando existe uma regra que permite decidir se um elemento pertence ou não a ele. Se um elemento x pertence a um conjunto (ou coleção) A, dizemos que x pertence a A. Formalmente escrevemos:

$x\in A$

E quando x não é um elemento deste conjunto, dizemos que x não pertence a A:

$x\not\in A$

A maioria dos conjuntos em matemática não possuem uma definição para todos os seus elementos, logo a forma mais fácil de definir um conjunto é utilizando uma propriedade comum para todos os seus elementos, ou seja, uma lei que consiga ser associada a todos os elementos que o compõe. Vejamos abaixo alguns conjuntos numéricos usuais:

Números Naturais: $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,...\}$
Números Inteiros: $\mathbb{Z}=\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}$
Números Racionais: $\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}:p\in\mathbb{Z}; q\in\mathbb{Z}^{*}\}$

Exemplo 1: Vamos definir um conjunto A que seja construído a partir dos números Naturais e que qualquer elemento de A seja maior ou igual a 5 e menor ou igual a 10. Então o conjunto será:

$A=\{5,6,7,8,9,10\}$

Como sabemos que qualquer elemento x que pertence a A é um número Natural neste exemplo, podemos representar o conjunto da seguinte maneira:

$A=\{x\in\mathbb{N}:5\leq x\leq 10\}$

Lê-se: O conjunto A é igual a x (elemento qualquer de A) que pertence aos naturais, tal que 5 é menor ou igual a x e x é menor ou igual a 10 (ou x está entre 5 e 10).

Conjunto vazio

Existem alguns conjuntos que são representados por uma propriedade onde não é possível gerar elementos. Vejamos um caso:

$A=\{x\in\mathbb{N}:1\leq x\leq 2\}$

Note que qualquer elemento de A pertence ao conjunto dos naturais, porém é um absurdo dizer que nos naturais existem números entre 1 e 2, ou seja, em ℕ não existe o número 1,5, por exemplo. Então, neste caso, dizemos que o conjunto A é vazio. E será representado por:

$A=\emptyset$

Atenção! O conceito de conjunto vazio remete a não existência de elementos, e não que o seu elemento é zero.

Subconjuntos

Note que no exemplo 1, os elementos do conjunto A estão contidos nos números Naturais, dizemos então que o conjunto A é um Subconjunto dos números Naturais, ou seja, o conjunto A está contido no conjunto ℕ. Escrevemos então:

$A\subset\mathbb{N}$

Exemplo 2: Basicamente, um subconjunto é um conjunto que possui elementos de outro. Como no exemplo da introdução, tomando o conjunto de crianças de 10 anos de idade em uma escola (chamaremos de A), e selecionando apenas os meninos (chamaremos de B), podemos dizer que o conjunto de meninos com 10 anos de idade é um subconjunto do conjunto das crianças. De uma maneira geral, dados dois conjuntos A e B, dizemos A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B. Sendo assim:

$A\subset B$

Exemplo 3: Os conjuntos numéricos ℕ, ℤ e ℚ cumprem uma relação de inclusão, onde:

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset{Q}$

Propriedades da inclusão:

$A\subset A$ (A sempre está contido em A);
Se $A\subset B$ e se $B\subset A$ então A = B ;
Se $A\subset B$ e se $B\subset C$ então $A\subset C$ .

Operações entre conjuntos

União de conjuntos: A união (ou reunião) de conjuntos é a junção dos elementos de um conjunto A mais ou elementos de um conjunto B. Podemos afirmar então que se um elemento x pertencer a união de A com B, então x pertence a A ou pertence a B. Formalmente definimos:

$A\cup B=\{x:x\in A\text{ ou }x\in B\}$

Veja abaixo uma representação no chamado diagrama de Venn. A região cinza simboliza a união dos seus respectivos elementos.

Interseção de conjuntos: A interseção de conjuntos é formada pelos elementos que são comuns entre A e B. Então:

$A\cap B=\{x:x\in A\text{ e }x\in B\}$

Propriedades:

União

$A\cup\emptyset=A$

$A\cup A=A$

$A\cup B=B\cup A$

$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$

$A\cup B=A\leftrightarrow B\subset A$

$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$

Interseção

$A\cap\emptyset=A$

$A\cap A=A$

$A\cap B=B\cap A$

$(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$

$A\cap B=A\leftrightarrow A\subset B$

$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$

Conjuntos complementares

A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B, formalmente dado por:

$A-B=\{x:x\in A\text{ e }x\not\in B\}$

E representado no diagrama de Venn por:

Não necessariamente B precisa estar contido em A para que exista A – B. Sendo assim, quando A ≠ B, nenhum elemento de A pertence a B, então A – B = A. Quando $A-B=A-(A\cup B)$ . Quando $B\subset A$ a diferença A – B se chama complementar de B em relação a A. Em notação formal dizemos:

$A-B=C_BA$

Relações binárias

Vamos supor que o conjunto A = {1,2} e o conjunto B = {3,4,5} com $A,B\subset\mathbb{N}$ . O produto cartesiano A x B será dado por:

$AxB=\{(1,3);(1,4);(1,5);(2,3);(2,4);(2,5)\}$

Se representarmos cada ponto de A x B geometricamente no plano cartesiano (ou também chamado de plano (x,y)) veremos que esta definição fica mais clara, pois todos os pontos do nosso exemplo serão indicados da seguinte forma: