Frações algébricas

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Frações algébricas são todas as expressões em que suas variáveis estão no denominador ou no numerador de uma fração. Logo, para encontrar os valores dessas variáveis podemos utilizar as propriedades de soma, subtração, multiplicação e divisão entre frações. Vamos relembrar essas propriedades:

Adição e Subtração:

$<![CDATA[ \frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ab\pm cd}{bd} ]]>$

Multiplicação e Divisão:

$<![CDATA[ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d} ]]>$

$<![CDATA[ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c} ]]>$

Exemplo 1) Vamos determinar qual é o valor de x na equação abaixo:

$<![CDATA[ \left(\frac{x+1}{x}\right)\cdot\left(\frac{3}{2}\right)=10 ]]>$

Note que na equação, podemos multiplicar as duas frações do lado esquerdo do membro, onde obtermos:

$<![CDATA[ \frac{3x+3}{2x}=10 ]]>$

Continuando, temos:

$<![CDATA[ 3x+3=10\cdot(2x) ]]>$

$<![CDATA[ 3x+3=20x ]]>$

$<![CDATA[ 20x-3x=-3 ]]>$

$<![CDATA[ 17x=-3 ]]>$

$<![CDATA[ x=\frac{-3}{17} ]]>$

Exemplo 2) Agora, vamos determinar o valor de x na expressão:

$<![CDATA[ \frac{x+2}{4}=\frac{5x}{3}=\frac{2x-3}{2} ]]>$

Somando as frações do lado esquerdo da expressão utilizando a propriedade de soma de frações, temos:

$<![CDATA[ \frac{3(x+2)-4(5x)}{12}=\frac{2x-3}{2} ]]>$

$<![CDATA[ \frac{3x+6-20x}{12}=\frac{2x-3}{2} ]]>$

$<![CDATA[ 2\cdot(3x+6-20x)=12\cdot(2x-3) ]]>$

$<![CDATA[ 6x+12-40x=24x-36 ]]>$

$<![CDATA[ 24x-6x+40x=12+36 ]]>$

$<![CDATA[ 58x=48 ]]>$

$<![CDATA[ x=\frac{48}{58} ]]>$

Simplificando a fração obtida acima, obtemos:

$<![CDATA[ x=\frac{24}{29} ]]>$

Exemplo 3) Agora vamos descobrir se há uma maneira de reescrever a expressão abaixo. Vale lembrar que neste exemplo o nosso objetivo não é encontrar o valor da variável, e sim reescrever a expressão abaixo de uma forma fatorada:

$<![CDATA[ \frac{2x}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x}\cdot\frac{1}{x+1} ]]>$

Note é uma multiplicação entre três frações. Então, pela propriedade:

$<![CDATA[ \frac{2x(x-2)}{(x-1)x(x+1)} ]]>$

Continuando, temos:

$<![CDATA[ \frac{2x^2 -4x}{x(x^2 -1)} ]]>$

$<![CDATA[ \frac{2x^2 -4x}{x^3 -x} ]]>$

Ou, de outra maneira, podemos cancelar o x do numerador e do denominador da fração:

$<![CDATA[ \frac{2x(x-2)}{(x-1)x(x+1)} ]]>$

$<![CDATA[ \frac{2(x-2)}{(x-1)(x+1)} ]]>$

$<![CDATA[ \frac{2x-4}{x^2 -1} ]]>$

Exemplo 4) Agora, vamos ver se a expressão abaixo pode ser reduzida ou fatorada:

$<![CDATA[ \frac{x^4 -16}{x+2}\div(x-2) ]]>$

Como se trata de uma divisão de frações, podemos dizer que:

$<![CDATA[ \frac{x^4 -16}{x+2}\cdot\frac{1}{(x-2)} ]]>$

Fatorando a expressão do numerador temos:

$<![CDATA[ \frac{(x-2)(x+2)(x^2 -4)}{(x+2)(x-2)} ]]>$

Concluindo então:

$<![CDATA[ x^2=4 ]]>$

Referências Bibliográficas:

GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 1999.

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