Professora Evelyn: Frações algébricas

Frações algébricas são todas as expressões em que suas variáveis estão no denominador ou no numerador de uma fração. Logo, para encontrar os valores dessas variáveis podemos utilizar as propriedades de soma, subtração, multiplicação e divisão entre frações. Vamos relembrar essas propriedades:

Adição e Subtração:

$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ab\pm cd}{bd}$

Multiplicação e Divisão:

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$

Exemplo 1) Vamos determinar qual é o valor de x na equação abaixo:

$\left(\frac{x+1}{x}\right)\cdot\left(\frac{3}{2}\right)=10$

Note que na equação, podemos multiplicar as duas frações do lado esquerdo do membro, onde obtermos:

$\frac{3x+3}{2x}=10$

Continuando, temos:

$3x+3=10\cdot(2x)$

$3x+3=20x$

$20x-3x=-3$

$17x=-3$

$x=\frac{-3}{17}$

Exemplo 2) Agora, vamos determinar o valor de x na expressão:

$\frac{x+2}{4}=\frac{5x}{3}=\frac{2x-3}{2}$

Somando as frações do lado esquerdo da expressão utilizando a propriedade de soma de frações, temos:

$\frac{3(x+2)-4(5x)}{12}=\frac{2x-3}{2}$

$\frac{3x+6-20x}{12}=\frac{2x-3}{2}$

$2\cdot(3x+6-20x)=12\cdot(2x-3)$

$6x+12-40x=24x-36$

$24x-6x+40x=12+36$

$58x=48$

$x=\frac{48}{58}$

Simplificando a fração obtida acima, obtemos:

$x=\frac{24}{29}$

Exemplo 3) Agora vamos descobrir se há uma maneira de reescrever a expressão abaixo. Vale lembrar que neste exemplo o nosso objetivo não é encontrar o valor da variável, e sim reescrever a expressão abaixo de uma forma fatorada:

$\frac{2x}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x}\cdot\frac{1}{x+1}$