Professora Evelyn: Inequação do segundo grau

Quando estudamos equações do 2º grau lidamos com igualdades, ou seja, expressões em que precisamos encontrar as raízes da equação em questão. Porém, quando tratamos de uma inequação a nossa expressão conterá, ao invés do sinal de igual (=), outros sinais que determinarão uma relação de ordem entre os seus elementos.

Se $x \geq y$ , dizemos que x é maior ou igual a y;
Se $x>y$ , então x é maior do que y;
Se $x \neq y$ , dizemos que x é diferente de y.

Resolvendo inequações do segundo grau

Para resolver uma inequação do 2º grau, é interessante primeiro resolver a equação normalmente e depois determinar as condições de existência em função de suas raízes e de sua desigualdade. Veja abaixo alguns exemplos:

Exemplo 1) Vamos resolver a equação dada por $x^2 +5x+6\geq 0$ .

Se igualássemos a equação a zero e resolvê-la como uma equação comum do segundo grau obteríamos as raízes:

$x^2 +5x+6=0$

$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2 -4\cdot 6}}{2} = \frac{-5\pm 1}{2}$

$\begin{cases}x_1=-2\\x_2=-3\end{cases}$

Agora devemos analisar ambas as raízes segundo a condição da equação dada onde a solução da equação deve ser maior ou igual a zero. Então devemos estudar o sinal de ambas as raízes obtidas separadamente e depois analisar a representação de ambas na reta, ou seja:

Se x for maior ou igual a -2, os valores da equação são maiores ou iguais a 0, o que cabe, analisando esta raiz a representação no intervalo:

Se x for menor ou igual a -3 então os valores de x também serão maiores que zero:

Sendo assim, o conjunto solução de nossa inequação será representado na reta como:

Ou pode ser escrito como:

$S=\{x\in\mathbb{R}:x\leq -3\text{ ou }x\geq -2\}=]-\infty,-3]\cup[-2,+\infty[$

Exemplo 2) Agora, vamos analisar a equação dada por $x^2 +x-2\leq 0$ .

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 -4\cdot(-2)}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}$

$\begin{cases}x_1=1\\x_2=-2\end{cases}$

Analisando o sinal repetindo o mesmo procedimento acima, obtemos:

Se $x\geq 1$ , os valores da equação serão maiores ou igual zero.
Se $x\leq -2$ , os valores também serão maiores ou iguais a zero.
Se $-2\leq x\leq 1$ , então os valores serão menores do que zero, o que satisfaz a nossa condição de existência da equação. Logo:

E sua solução pode ser escrita como:

$S=\{x\in\mathbb{R}:-2\leq x\leq 1\}=[-2,1]$

Exemplo 3) Estudemos a equação $x^2 -8x+15>0$ .

$x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2 -4\cdot(15)}}{2}=\frac{8\pm 2}{2}$

$\begin{cases}x_1=5\\x_2=3\end{cases}$

Se $x>5$ , os valores da equação serão maiores do que zero.
Se $x<3$ , os valores também serão maiores do que zero.
Se $3<x<5$ , então os valores serão menores do que zero. Então podemos afirmar que: