Professora Evelyn: Teorema de Tales

Tales de Mileto foi um matemático e filósofo Grego do período pré-socrático que viveu em meados de 650 A.C. Tales, quando tentava determinar a altura de uma pirâmide, formulou um teorema que afirma:

“Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual a razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.”

Para demonstrar o teorema de Tales devemos recorrer a definição do teorema fundamental da proporcionalidade, onde um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Assim, dados o feixe de paralelas r, s e t e as transversais a e b, temos:

$\frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} =\frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} =\frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}$

Num triangulo qualquer, se uma reta paralela a um dos lados deste triângulo corta os outros dois lados em pontos distintos, então ela os divide na mesma razão. Em outras palavras, seja um triângulo ABC, uma reta r paralela ao lado BC a qual intersecciona os lados AB e AC, respectivamente, nos pontos D e E, então:

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} =\frac{\overline{AC}}{\overline{AE}}$

Exemplo 1: Sejam as retas r, s e t tais que r // s // t. Vamos determinar a medida dos segmentos $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ da figura abaixo:

As medidas de cada segmento são:

$\overline{AB} = 2x+1$

$\overline{BC} = 5x-1$

$\overline{DE} = 4$

$\overline{EF} = 6$

$\overline{AC} = 2x+1+5x-1 = 7x$

$\overline{DF} = 4+6 = 10$

Pelo teorema de Tales, podemos então afirmar:

$\frac{2x+1}{4} = \frac{5x-1}{6} = \frac{7x}{10}$

Para resolver esta equação podemos escolher dois entre os três termos acima na igualdade, por exemplo:

$\frac{2x+1}{4} = \frac{5x-1}{6}$

$6(2x+1) = 4(5x-1)$

$12x+6 = 20x-4$

$6+4 = 20x -12x$

$10 = 8x$

$x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

Então, as medidas valem $\overline{AB} = \frac{7}{2}$ e $\overline{BC} = \frac{21}{4}$ .

Exemplo 2: Agora, considere três terrenos que estão entre duas ruas, A e B. Sabendo que as medidas de cada terreno de frente a rua A são 40 m, 30 m e 20 m, vamos determinar a medida de cada terreno para a rua B sabendo que a frente para essa rua tem 180 m. Vamos ilustrar segundo o nosso problema um esboço dos terrenos:

Pelo enunciado podemos dizer que $x+y+z = 180$ , então pelo teorema de Tales, a relação dos seus lados será dada por:

$\frac{x}{40} = \frac{y}{30} = \frac{z}{20} = \frac{x+y+z}{40+30+20} = \frac{180}{90} = 2$

Assim como no exemplo anterior, precisamos determinar o valor de cada medida x, y e z da figura. No caso, todas as razões são iguais a 2. O que nos traz:

$\frac{x}{40} = 2 \rightarrow x = 80$

$\frac{y}{30} = 2 \rightarrow y = 60$

$\frac{z}{20} = 2 \rightarrow z = 40$

: Agora, um exemplo com um triângulo onde os segmentos $\overline{DE}$ e $\overline{BC}$ são paralelos. Vamos determinar o valor das medidas $\overline{AD}$ e $\overline{AE}$ .

Pela definição do teorema podemos:

$\frac{x-1+2}{2} = \frac{x+3+3}{3} \rightarrow \frac{x+1}{2} = \frac{x+6}{3}$

Desenvolvendo a expressão, temos:

$\frac{x+1}{2} = \frac{x+6}{3}$

$3(x+1) = 2(x+6)$

$3x+3 = 2x+6$

$3x-2x = 6-3$

$x = 3$

Então, as medidas são $\overline{AD} = 2$ e $\overline{AE} = 6$ .

Teorema de Tales no círculo

Existe ainda um caso especial do teorema de Tales a partir da definição do teorema do ângulo inscrito. Seja um triangulo qualquer ABC inscrito em uma circunferência, se a medida $\overline{BC}$ for o diâmetro desta circunferência, então os pontos A, B e C formam um triângulo retângulo. Veja a figura abaixo: