Função modular

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Vamos relembrar o conceito de módulo (ou valor absoluto) de um número real:

O módulo de um número real r é representado por |r| onde:

|r| = r se r ≥ 0

|r| = -r se r < 0

E também, algumas propriedades envolvendo os módulos de números reais, algumas delas são:

$<![CDATA[ |x| \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} ]]>$

$<![CDATA[ |x| = 0 \Rightarrow x = 0 ]]>$

$<![CDATA[ |x| \geq x \quad \forall x \in \mathbb{R} ]]>$

$<![CDATA[ |x| \geq |-x| \quad \forall x \in \mathbb{R} ]]>$

$<![CDATA[ |x^2| = |x|^2 = x^2 ]]>$

$<![CDATA[ |x+y| \leq |x| + |y| ]]>$

$<![CDATA[ |x-y| \geq |x| - |y| ]]>$

$<![CDATA[ |x \cdot y| = |x| \cdot |y| ]]>$

$<![CDATA[ |\frac{x}{y}|= \frac{|x|}{|y|} ]]>$

$<![CDATA[ ||x| - |y|| \leq |x - y| ]]>$

Função modular

Agora, definimos uma função modular como:

Seja uma função $<![CDATA[ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ]]>$ e dada por f(x) = |x| então:

$<![CDATA[ f(x) = \begin{cases}x,&\text{ se } x \geq 0\\-x,&\text{ se } x < 0\end{cases} ]]>$

Uma alusão interessante para as funções modulares é que podemos imaginar que o eixo x é um espelho para o gráfico das funções. Tudo que está abaixo da origem do plano cartesiano no eixo y, ou seja, valores negativos de y, não assumirá valores. Vejamos abaixo o exemplo de duas funções:

f(x) = x

 

f(x) = |x|

Exemplo 1) Seja a função $<![CDATA[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ]]>$ definida por $<![CDATA[ f(x) = |x^2 - 6x + 5| ]]>$, o seu gráfico é dado por:

Exemplo 2) Seja a função $<![CDATA[ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ]]>$ definida por $<![CDATA[ f(x) = |sen x| ]]>$, o seu gráfico é dado por:

Exemplo 3) Agora a função $<![CDATA[ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ]]>$ definida por $<![CDATA[ f(x) = |x-1| + |x-3| ]]>$. Para construir este gráfico devemos considerar primeiro a solução da equação modular na qual ela é definida. Para isso é necessário atribuir algumas condições eliminando os módulos das funções segundo as propriedades apresentadas. Veja abaixo:

1) Se $<![CDATA[ x \geq 3 = \begin{cases}|x-1| = x-1\\|x-3| = x-3\end{cases} ]]>$

Então podemos dizer que:

f(x) = (x-1) + (x-3) = x-1 + x - 3 = 2x-4

2) Se $<![CDATA[ 1 \leq x < 3 = \begin{cases}|x-1| = x-1\\|x-3| = -(x-3) = -x+3\end{cases} ]]>$

Logo:

f(x) = (x-1) + (-x+3) = x-1-x+3 = 2

3) Se $<![CDATA[ x < 1 = \begin{cases}|x-1| = -(x-1) = -x+1\\|x-3| = -(x-3) = -x+3\end{cases} ]]>$

Então:

f(x) = (-x+1) + (-x+3) = -x+1-x+3 = -2x+4

4) Concluindo que a nossa função terá como condições:

$<![CDATA[ f(x) = \begin{cases}2x-4,&\quad \text{ se } x \geq 3\\2,&\quad \text{ se } 1 \leq x < 3\\-2x+4,&\quad \text{ se } x < 1\end{cases} ]]>$

O seu gráfico então será dado por:

Exemplo 4) Vamos determinar o gráfico de $<![CDATA[ f(x) = |x-1| + 2 ]]>$. Eliminando os módulos segundo as propriedades, temos que:

$<![CDATA[ f(x) = \begin{cases}x+1,&\quad \text{ se } x \geq 1\\-x+3,&\quad \text{ se } x < 1\end{cases} ]]>$

O seu gráfico será dado por:

Referências Bibliográficas:

LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.

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